Инвариантные множества.
Maxime, 15.11.94Инвариантным относительно какого-либо преобразования называется фигура комплексной плоскости, не изменяющаяся при этом преобразовании. Самым простым примером могут служить фигуры, инвариантные относительно квадратичного преобразования f(x) = x^2 + b'x + c.
Способ построения таких множеств покажем на примере преобразования
(*) f(x) = x^4 + 2'Q'x^2 + E
Сначала выберем какие-либо конкретные значения для параметров Q и E, например, Q = 0,13 + 0,4'i, E = 0,08 - 0,5'i. Процесс построения - итеративный, поэтому определим количество итераций:
iteration = 5000
Начальное значение: X0 = 0. Формула итерации:
X = +/- SQRT(-Q +/- SQRT(Q^2 + X - E))
i+1 i
Уравнение (*) имеет в общем случае 4 корня. Нам надо выбрать для каждой
итерации какой-либо один корень. Выбор можно осуществлять случайным образом.
+/- означает плюс или минус. Все вычисления - над комплексными числами. Если
построить график Xi: ось x - Re Xi, ось y - Im Xi для данных значений
параметров, то полученная фигура будет напоминать остров. Форма полученной
фигуры зависит от значений параметров Q и E.
Аналогично можно построить фигуру, инвариантную относительно любого другого преобразования.
На рисунке показаны фракталы, получающиеся для различных значений параметров Q и E.
